2018 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

设 $M=(-1,t)$，$r=\sqrt{1+t^2}$。当 $t\ne 0$，角平分线定理给 $P=((r-1)/(r+1),t/(r+1))$，所以 $x=y^2$ 且 $0<x<1$。当 $t=0$ 时，$MON$ 为平角，其平分线是纵轴，与 $MN$ 相交于原点，因此顶点也取得。反向取 $t=2y/(1-y^2)$ 可得到任意 $-1<y<1$。故轨迹为 $\boxed{x=y^2,-1<y<1}$。第二问将过给定点的直线写为 $y=k(x+1/2)-1/2$，代轨迹后等价于 $k=g(y)=(y+1/2)/(y^2+1/2)$。在 $(-1,1)$ 中，$g$ 先增至 $y=(\sqrt{3}-1)/2$，后减；最大值为 $(1+\sqrt{3})/2$，两端极限分别是负三分之一与一。右侧递减支只取 $(1,(1+\sqrt{3})/2]$，因此恰好一个公共点的斜率为 $\boxed{k\in (-1/3,1]\cup \{(1+\sqrt{3})/2\}}$。