易混 2023 年福建预赛 · P006654
交换两类对象可把严格较多与严格较少的事件配对，但平局概率仍需单独处理。多出一次公平试验时，可以把它先拆出来，再看它怎样分配同长度部分的平局，而不是直接忽略平局。
取球的样本量由骰子决定，需要先按取球数分类；硬币题两方次数不同，先拆成同长度部分与额外一次，才恢复可用的交换对称。
培玉 · 一试
2016 年河南预赛 · 第 2 题
F2填空题概率
甲乙两人各自独立地抛掷一枚均匀硬币，甲抛掷 次，乙抛掷 次，则乙出现正面向上的次数比甲出现正面向上的次数多的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先把乙的前十次与甲的十次比较，二者同分布且可交换。
思路
乙多出的一次公平抛掷，恰能把平局概率的一半分给乙。
解答
令 为甲十次正面数， 为乙前十次正面数， 为乙第十一次是否正面的指示变量。 同分布且独立， 独立于它们，。
当 时要求 ；当 时因计数为整数，要求 。所以
交换 得 ，因此 。代回即得
复核
也可把甲的十次正反面全部反转： 是21次独立公平抛掷的正面总数。原事件等价于该总数大于 ，由于总次数为奇数，其概率恰为 ，没有平局。
方法总结
两组同分布计数的比较可用交换对称。若其中一方多一个公平试验，先单独条件化这次试验，能消去原来十次比较中的平局项。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先把双方相同次数的计数交换对称，再单独条件化多出的一次公平试验；平局概率因这一步被平均分配，无须列全分布。
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