2026 年内蒙古预赛

解答

令 $R=-P$，则 $R$ 仍在双曲线 $C_1$ 上，并且

记圆 $C_2$ 的圆心为 $S=(0,3)$，半径为 $2$。对双曲线上任意点 $R=(x,y)$，由 $x^2=2(1+y^2)$，有

所以圆心到双曲线的最短距离为 $2\sqrt{2}$，在 $R=(\pm 2,1)$ 时取到。这个距离大于圆的半径 $2$，故圆与双曲线之间的最短距离为

结合 (1)，