易混 2025 年广州预赛 · P006258
两题都可用点积判断角度，但代数处理必须保留原来的欧氏度量。圆上的点积经轨迹方程可直接降为线性式；把椭圆伸缩成圆只简化交点方程，不保持夹角，仍须回到原坐标算点积与长度积。平方后的候选也要恢复锐钝符号。
前题用点积的非负性排除钝角并找到直角；后题指定钝角，伸缩坐标里的普通圆角及平方后的另一支都不能直接采用。
培玉 · 一试
2026 年福建预赛
F2填空题直线与圆
在平面直角坐标系 中，点 。 是圆 上的一个动点，则 的最大值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
角的锐钝可由 判断。
思路
利用圆的方程 消去二次项后，这个点积成为圆上的线性函数，其最小值可由圆心到直线方向的投影直接求出。
解答
设 。由 在圆 上，
把 写为 ，其中 ，则
因此 。等号在
时成立，此时 ，确在给定圆上。故最大值为
复核
在等号点，，故 ； 点积在整圆上非负，排除了任何钝角情形，所以所得确为全局最大值。
方法总结
坐标几何中的角度最值不一定要直接求三角函数。固定两端点时， 的符号能控制角的锐钝；再借助轨迹方程降次， 常可把问题化成圆上线性函数的最值。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
以AB为直径的圆与动点圆外切，借助直径圆内外的张角判定即可得到90度上界并在切点取等。
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