培玉 · 一试

专题地图 › 函数与方程

导数的应用

从这里开始

从导数符号走到完整结论

列全最值候选，判断局部极值，并在含参问题中核查全域与临界值。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

导数应用的核心是把函数条件转成可控制的符号、斜率和极值关系。先确定定义域，再区分局部极值、全局最值与仅能逼近的上确界；含参数时，必要条件与充分性必须分别证明。切线、零点和恒成立不等式常共享同一个辅助函数，但开闭端点、严格性以及等号能否同时成立要分别核查。

先修（培玉高中数学）：导数的概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用对数函数

知识要点

导数符号与单调区间

求导前先确定函数在哪些连通区间上有定义。导数非负可保证单调不减，但一个驻点并不必然是极值点；若导数不在任何非退化子区间恒为零，仍可严格递增。例如 $F (x) = x^{3}$ 有 $F^{'} (0) = 0$ ，却在整个实数轴严格递增。写最大单调区间时，函数有定义的驻点端点通常可以并入，分母禁值则不能并入。

最值、极值与上确界

闭区间上的连续函数求最值，要比较两个端点及全部内部驻点；开区间还须检查边界极限。例如 $F (x) = x^{3} - 3 x$ 在 $[0, 2]$ 的候选值为 $F (0) = 0, F (1) = - 2, F (2) = 2$ ，故值域为 $[- 2, 2]$ 。而 $1 - x$ 在 $(0, 1)$ 的上确界为 $1$ ，没有最大值；不能把极限值当成已经取得的函数值。

含参单调条件是全区间交集

可导函数的单调性给出导数符号约束，分离参数后须对整个区间同时成立。例如 $F (x) = e^{x} - c x$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，当且仅当 $c \leq 1$ ：必要性看 $x = 0$ 处的右导数，充分性由 $e^{x} \geq 1$ 。临界参数处导数可以在孤立点为零，不能因此删去端点；除以自变量前还要按正负分别改变不等号方向。

斜率界与两点函数值之差

若函数在闭区间连续、内部可导，中值定理把两点差商化为某处导数。全区间 $∣ F^{'} ∣ \leq L$ 给出 $∣ F (u) - F (v) ∣ \leq L ∣ u - v ∣$ ；若导数同号且绝对值至少为 $L$ ，则可得反向差值下界。例如 $F (x) = x^{2}$ 在 $[1, 2]$ 有 $2 \leq F^{'} (x) \leq 4$ ，所以任意两点的函数值差介于 $2∣ u - v ∣$ 与 $4∣ u - v ∣$ 之间。

在驻点方程中消参或消对数

极值点往往无法显式解出，但导数为零给出的等式可以简化该点的函数值。例如 $F (x) = x ln x - 2 x$ 的驻点满足 $ln x = 1$ ，所以 $x = e$ 且 $F (e) = - e$ 。若驻点由参数决定，也可反过来把参数写成驻点的函数，再证明这一函数单调；注意“导数为零”还需配合符号变化或凸性才能认定极值。

零点计数看分支与边界

含参方程能解成 $a = h (x)$ 时，研究水平线与各单调分支的交点。要保留定义域、无穷远极限和重根信息。例如 $x^{2} - 2 x = a$ 在全实数上有两根当且仅当 $a > - 1$ ，但限制 $x > 0$ 后，两根需 $- 1 < a < 0$ ； $a = 0$ 的零根不在定义域。含取整或整数解的问题应先分段，再在每段比较端点符号。

切线条件先翻译成代数

在切点横坐标为 $t$ 处，切线为 $y = F (t) + F^{'} (t) (x - t)$ 。给定斜率先解 $F^{'} (t) = k$ ，过点条件则给出函数值与导数值的线性关系。例如 $y = x^{2}$ 在 $t = 1$ 的切线为 $y = 2 x - 1$ ；它与坐标轴围成的三角形面积为 $1/4$ 。面积或距离式含参数时，还需核查切点存在、两线不同和长度的绝对值。

差函数、连续求导与临界退化

证明不等式可将两边相减，利用已知初值和导数符号逐层返回。例如 $H (x) = e^{x} - 1 - x$ 满足 $H (0) = H^{'} (0) = 0$ 、 $H^{''} (x) > 0$ ，故 $x > 0$ 时 $H (x) > 0$ 。判断指定点的局部极值时，二阶项消失必须继续检查； $x^{3}$ 在零点两侧异号，而 $x^{4}$ 在零点有严格极小值，不能仅凭二阶导数为零下结论。

方法卡

求单调区间和最值：求导，列符号表，比较所有分点和端点

导数的正负告诉我们函数在升还是降。把导数写成因式乘积，按它变号的点、函数没有定义的点和不可导的点切段，就知道每一段的增减。闭区间上的最大值和最小值，要比较所有分点和两个端点的函数值。

完整讲解 · 例题 · 可练 50 题

一、是什么

导数是什么

导数 $f^{'} (x)$ 表示函数在 $x$ 处变化的快慢，也就是图像在这一点切线的斜率。以 $f (x) = x^{2}$ 为例，从 $x$ 走到 $x + h$ ，平均变化率是 $\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = 2 x + h$ 。让 $h$ 越来越接近 $0$ ，这个值越来越接近 $2 x$ ，所以 $(x^{2})^{'} = 2 x$ 。

求导公式

常数的导数是 $0$ ； $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ， $n$ 可以是分数或负数，所以 $(x)^{'} = (x^{1/2})^{'} = \frac{1}{2 x}$ ， $(\frac{1}{x})^{'} = (x^{- 1})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ 。加减和常数倍可以逐项求： $(3 x^{2} - 5 x)^{'} = 6 x - 5$ 。乘积： $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ，例如 $(x \cdot x)^{'} = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2 x$ ，与上面一致。商： $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ，要求 $v \neq = 0$ 。

导数的正负决定增减

在一段连在一起、处处有导数的区间上， $f^{'} (x) > 0$ 则函数严格递增， $f^{'} (x) < 0$ 则严格递减。直观理由是切线上坡时函数在升，严格证明要用大学的中值定理，这里直接使用。导数只在个别点等于 $0$ 时不影响结论： $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ 只在 $x = 0$ 为零， $x^{3}$ 仍在整条数轴上严格递增。这也说明导数为零的点不一定是最大或最小的位置。

为什么只比较分点和端点

导数等于零的点叫驻点。闭区间上函数没有断点、内部处处有导数时，用驻点把区间切成几段，每段都单调，所以每段的最大值和最小值都在这段的两端。于是整个区间的最值，一定出现在驻点或区间端点。比周围都大的点叫极大值点，它只和附近比，不一定是全局最大。例如 $x^{3} - 3 x + 1$ 在 $[- 2, 3]$ 上， $x = - 1$ 处是极大值 $3$ ，而全局最大值是 $x = 3$ 处的 $19$ 。

没有定义的点也要切开

函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的导数 $- \frac{1}{x ^{2}}$ 处处为负，但 $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ ，它不是在整个定义域上递减。原因是 $x = 0$ 把定义域断成两段，导数的结论只能在每一段内部使用。所以它的递减区间要写成 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$ 两段，不能合并。驻点处函数有定义时可以算进单调区间，写成闭端点。

有定义但没有导数的点也要比较

绝对值的折点就是这种点。 $g (x) = ∣ x ∣ + x^{2}$ ， $x \in [- 1, 2]$ ： $x < 0$ 时 $g^{'} (x) = - 1 + 2 x < 0$ ， $x > 0$ 时 $g^{'} (x) = 1 + 2 x > 0$ 。 $x = 0$ 处图像有尖角，左边斜率接近 $- 1$ ，右边接近 $1$ ，没有一条确定的切线，所以没有导数。这里没有驻点，只比较端点值 $g (- 1) = 2$ ， $g (2) = 6$ 会出错，最小值其实是 $g (0) = 0$ ，值域是 $[0, 6]$ 。它和分母为零的点不同：这种点函数有值，要算进比较，也可以写成单调区间的闭端点；分母为零的点函数没有值，不能算进比较，两侧也不能合并。

先看一道例题

例 1：闭区间上求值域

求 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ 在 $[- 2, 3]$ 上的取值范围。

怎么看出来：

闭区间上的三次多项式，直接求导，比较驻点和端点。

解：

$f (x)$ 处处有定义。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ ，驻点是 $x = - 1$ 和 $x = 1$ ，都在区间内。符号： $(- 2, - 1)$ 上 $f^{'} > 0$ ， $(- 1, 1)$ 上 $f^{'} < 0$ ， $(1, 3)$ 上 $f^{'} > 0$ 。函数值： $f (- 2) = - 8 + 6 + 1 = - 1$ ， $f (- 1) = - 1 + 3 + 1 = 3$ ， $f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1$ ， $f (3) = 27 - 9 + 1 = 19$ 。最小值是 $- 1$ ，最大值是 $19$ ，最大值出现在端点，而不是驻点。函数没有断点，所以 $- 1$ 和 $19$ 之间的值都能取到。

答案：

$[- 1, 19]$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
求单调区间，如 $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$	写定义域，求导，把导数化成因式乘积，列符号表
闭区间上求最值或值域，如 $x \in [- 2, 3]$	算出所有驻点、有定义但不可导的点和两个端点的函数值，一起比较
函数含绝对值，如 $∣ x ∣ + x^{2}$	绝对值的折点可能没有导数，要先分段，并把折点算进切段的点
导数的分母是平方，如 $\frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$	分母恒正，符号只看分子，但分母为零的点仍要切开
区间不含端点或伸向无穷，如 $x \in (0, + \infty)$	比较驻点后，再看两端的趋势（见进阶“开区间的边界”）
比较两个形式相同的数，如 $202 6^{2027}$ 和 $202 7^{2026}$	取对数后构造同一个函数，用它的单调性比较（见进阶“指数、对数、三角函数”）
问方程有几个实根，或导数的正负看不出来	用单调性加两边异号，或再求一次导（见进阶“再求一次导与数根”）

三、怎么用

写定义域。例如 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ ， $x \in [- 1, 2]$ ，全程有定义。
求导并因式分解，恒正的因子可以不看。 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x = 6 x (x - 1)$ 。
列出切段的点：导数为零的点、没有定义的点、有定义但不可导的点、区间端点。这里没有后两种，切段点是 $- 1, 0, 1, 2$ ，每段取一个值试正负： $(- 1, 0)$ 上取 $x = - \frac{1}{2}$ ， $f^{'} = 4.5 > 0$ ； $(0, 1)$ 上取 $x = \frac{1}{2}$ ， $f^{'} = - 1.5 < 0$ ； $(1, 2)$ 上取 $x = \frac{3}{2}$ ， $f^{'} = 4.5 > 0$ 。
读出增减。 $f$ 在 $[- 1, 0]$ 和 $[1, 2]$ 上递增，在 $[0, 1]$ 上递减。
算所有切段点的函数值并比较。 $f (- 1) = - 5$ ， $f (0) = 0$ ， $f (1) = - 1$ ， $f (2) = 4$ ，所以最小值 $- 5$ ，最大值 $4$ ，值域是 $[- 5, 4]$ ，因为函数没有断点，中间的值都能取到。

四、再做一道

例 2：有分母的单调区间

求 $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ 的单调区间。

怎么看出来：

分式函数要用商的公式，并且 $x = 1$ 没有定义，必须切开。

解：

定义域是 $x \neq = 1$ 。由商的公式， $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ 。分母恒正，符号由 $x (x - 2)$ 决定。切段点是 $0, 1, 2$ ： $x < 0$ 时 $f^{'} > 0$ ； $0 < x < 1$ 和 $1 < x < 2$ 时 $f^{'} < 0$ ； $x > 2$ 时 $f^{'} > 0$ 。驻点 $0$ 和 $2$ 处函数有定义，可以写成闭端点。 $[0, 1)$ 和 $(1, 2]$ 不能合并： $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ ， $f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$ ，自变量变大时函数值也变大，不是递减。

答案：

递增区间 $(- \infty, 0]$ 和 $[2, + \infty)$ ；递减区间 $[0, 1)$ 和 $(1, 2]$ 。

五、容易错在哪

只比较导数为零的点会漏掉端点和不可导的点，最值常常出现在这些地方，所以它们必须一起算。
极大值只比附近的值大，不一定是全局最大值，要和其他驻点、端点比较后才能下结论。
导数在没有定义的点两侧同号，也不能把两段合并成一个单调区间，因为函数在这里断开了。
导数等于零不代表函数在这里取极值，还要看两侧是否变号，例如 $x^{3}$ 在 $x = 0$ 处导数为零，两侧都递增。
开区间上的值域要检查两端的趋势，取不到的边界要用开括号。

进阶：开区间的边界 · 先修：本卡基础部分

开区间：端点取不到，要看趋势

区间不含端点或伸向无穷时，函数值可能只是越来越接近某个数，却取不到。这种“越来越接近”叫极限。常用的办法是把函数夹住。例如 $x > 0$ 时 $0 < \frac{x}{x ^{2} + 1} < \frac{1}{x}$ ， $x$ 越大右边越接近 $0$ ，所以函数值越来越接近 $0$ ，但永远不等于 $0$ 。写值域时这一端用开括号。

例 3：开区间的值域

求 $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上的值域。

怎么看出来：

区间两端都取不到，所以除了驻点，还要看两端函数值的趋势。

解：

$f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( 1 - x ) ( 1 + x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ 。 $x > 0$ 时分母和 $1 + x$ 都为正，符号由 $1 - x$ 决定： $0 < x < 1$ 时递增， $x > 1$ 时递减，所以最大值是 $f (1) = \frac{1}{2}$ 。两端的趋势： $x$ 接近 $0$ 时分子接近 $0$ 、分母接近 $1$ ，函数值接近 $0$ ； $x$ 很大时 $0 < f (x) < \frac{1}{x}$ ，函数值也接近 $0$ 。而 $x > 0$ 时始终 $f (x) > 0$ ，所以 $0$ 取不到。函数没有断点， $0$ 和 $\frac{1}{2}$ 之间的值都能取到。

答案：

$(0, \frac{1}{2}]$ 。

进阶：指数、对数、三角函数 · 先修：对数定义、正弦余弦

指数、对数、三角函数和复合函数的导数

$e \approx 2.718$ 是一个固定的数， $ln x$ 表示以 $e$ 为底的对数，要求 $x > 0$ ，且随 $x$ 增大而增大。公式： $(e^{x})^{'} = e^{x}$ ， $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ， $(sin x)^{'} = cos x$ ， $(cos x)^{'} = - sin x$ 。复合函数先对外层求导，再乘内层的导数： $[ln (x + 1)]^{'} = \frac{1}{x + 1}$ ， $(2 x + 1)^{'} = \frac{1}{2 2 x + 1} \cdot 2 = \frac{1}{2 x + 1}$ 。

例 4：用单调性比较大数

比较 $202 6^{2027}$ 和 $202 7^{2026}$ 的大小。

怎么看出来：

数太大不能直接算。两边取对数后，指数和底数可以分开，都写成 $\frac{ln x}{x}$ 的形式。

解：

设 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ， $x > 0$ 。 $f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - ln x}{x ^{2}} = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ 。分母为正； $x > e$ 时 $ln x > 1$ ，所以 $f^{'} (x) < 0$ ， $f$ 在 $(e, + \infty)$ 上递减。因为 $e < 2026 < 2027$ ，得 $\frac{ln 2026}{2026} > \frac{ln 2027}{2027}$ 。两边同乘正数 $2026 \times 2027$ ，得 $2027 ln 2026 > 2026 ln 2027$ ，即 $ln 202 6^{2027} > ln 202 7^{2026}$ 。 $ln x$ 是增函数，所以 $202 6^{2027} > 202 7^{2026}$ 。

答案：

$202 6^{2027} > 202 7^{2026}$ 。

例 5：三角函数的最值

求 $f (x) = x + 2 cos x$ 在 $[0, π]$ 上的最大值和最小值。

怎么看出来：

求导后是 $1 - 2 sin x$ ，令它为零，得到两个驻点，再和端点比较。

解：

$f^{'} (x) = 1 - 2 sin x$ 。在 $[0, π]$ 上 $sin x = \frac{1}{2}$ 的解是 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{5 π}{6}$ 。 $0 \leq x < \frac{π}{6}$ 时 $f^{'} > 0$ ， $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 时 $f^{'} < 0$ ， $\frac{5 π}{6} < x \leq π$ 时 $f^{'} > 0$ 。函数值： $f (0) = 2$ ； $f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 3 \approx 2.26$ ； $f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - 3 \approx 0.89$ ； $f (π) = π - 2 \approx 1.14$ 。比较这四个数。

答案：

最大值 $\frac{π}{6} + 3$ ，最小值 $\frac{5 π}{6} - 3$ 。

进阶：再求一次导与数根 · 先修：对数定义、正弦余弦

导数的正负看不出来时，再求一次导

把 $f^{'}$ 本身当成新函数，求它的最小值。例如 $f (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ ， $f^{'} (x) = e^{x} - x$ ，正负不明显。再求导： $(e^{x} - x)^{'} = e^{x} - 1$ ， $x < 0$ 时为负， $x > 0$ 时为正，所以 $f^{'}$ 的最小值是 $f^{'} (0) = 1 > 0$ 。于是 $f^{'} (x) > 0$ 处处成立， $f$ 在整条数轴上严格递增。

用单调性数实根

严格单调的函数每个值最多取一次，所以方程 $f (x) = 0$ 最多一个实根。函数没有断点时，从负值变到正值，中间一定经过 $0$ ，所以两边异号又保证至少一个实根。例如 $f (x) = x^{3} + 3 x - 1$ ： $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 > 0$ ， $f (0) = - 1 < 0$ ， $f (1) = 3 > 0$ ，所以恰有 $1$ 个实根，它在 $0$ 和 $1$ 之间。

进阶：含参数的函数 · 先修：本卡基础部分

函数里有参数：按驻点的位置分类

参数决定驻点在不在区间里、落在哪一段。先按导数能否变号分类，再按驻点在区间内或区间外分类。例如 $f (x) = x^{2} - 2 a x$ 在 $[0, 1]$ 上， $f^{'} (x) = 2 (x - a)$ ： $a \leq 0$ 时递增，最小值 $f (0) = 0$ ； $0 < a < 1$ 时先减后增，最小值 $f (a) = - a^{2}$ ； $a \geq 1$ 时递减，最小值 $f (1) = 1 - 2 a$ 。

例 6：驻点位置随参数变化

设 $a$ 为实数，求 $f (x) = x^{3} - 3 a x$ 在 $[0, 2]$ 上的最小值。

怎么看出来：

$f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a)$ ，驻点 $a$ 是否存在、是否落在区间内，都由 $a$ 决定。

解：

分三种情况。当 $a \leq 0$ 时， $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a) \geq 0$ ， $f$ 递增，最小值是 $f (0) = 0$ 。当 $0 < a < 4$ 时，驻点 $a$ 在 $(0, 2)$ 内， $0 < x < a$ 时 $f^{'} < 0$ ， $a < x < 2$ 时 $f^{'} > 0$ ，先减后增，最小值是 $f (a) = a a - 3 a a = - 2 a a$ 。当 $a \geq 4$ 时， $x \in [0, 2]$ 都有 $x^{2} \leq 4 \leq a$ ， $f^{'} \leq 0$ ， $f$ 递减，最小值是 $f (2) = 8 - 6 a$ 。检查分界： $a = 4$ 时 $- 2 \cdot 4 \cdot 2 = - 16$ ， $8 - 24 = - 16$ ，两式一致。

答案：

$a \leq 0$ 时为 $0$ ； $0 < a < 4$ 时为 $- 2 a a$ ； $a \geq 4$ 时为 $8 - 6 a$ 。

真题

按这个方法练 · 50 题

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分离参数与导数统一界

“对所有输入成立”意味着参数必须同时满足每个输入给出的限制。

完整讲解 · 例题 · 可练 46 题

一、是什么

先认识这些量

全域条件取的是各点允许参数集合的交集。导数符号可判单调，但必须在整个指定区间成立。

为什么这样做

先找特殊点或极限给必要界，再验证边界参数在全域也可行，才能得到充分条件。

先看一道例题

例 1：全实数递增

求使 $f_{a} (x) = x^{3} + a x$ 在实数上单调不减的全部 $a$ 。

怎么看出来：

导数最低点在零。

解：

$f_{a}' = 3 x^{2} + a$ 。若 $a \geq 0$ 导数处处非负；若 $a < 0$ ，零附近导数负，不能单调不减。

答案：

$a \geq 0$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
含参数函数要求在整个区间单调、统一有界，或所有两点都满足斜率约束。	“对所有输入成立”意味着参数必须同时满足每个输入给出的限制。
求使 $f_{a} (x) = x^{3} + a x$ 在实数上单调不减的全部 $a$ 。	导数最低点在零。

三、怎么用

写定义域及全称量词。
把条件整理为参数的点态界。
取所有界的共同限制。
代回临界参数证明充分性。

四、再做一道

例 2：全域非负

求使 $x^{2} - 2 a x + 1 \geq 0$ 对一切实数成立的 $a$ 。

怎么看出来：

配方后最小值必须非负。

解：

式子为 $(x - a)^{2} + 1 - a^{2}$ ，最小值在 $x = a$ 取得，故 $1 - a^{2} \geq 0$ 。

答案：

$- 1 \leq a \leq 1$ 。

五、容易错在哪

只检查若干输入不能代替全域充分性，必须给统一估计。

真题

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驻点方程消元与重新参数化

驻点方程不只找位置，还能消去极值表达式中的参数。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

先认识这些量

可导函数内部满足导数为零的点叫驻点。驻点不一定是极值点，须检查两侧导数符号或全域比较。

为什么这样做

若在驻点 $t$ 有 $a = ϕ (t)$ ，将它代回 $f_{a} (t)$ 可降低次数。但要保留 $t$ 的范围和对应参数是否唯一。

先看一道例题

例 1：三次函数

$a > 0$ ， $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x$ ，求正驻点与该点函数值。

怎么看出来：

用驻点关系消去参数。

解：

$3 t^{2} - 3 a = 0$ ，正驻点 $t = a$ ， $a = t^{2}$ ，所以 $f_{a} (t) = - 2 t^{3} = - 2 a^{3/2}$ 。其导数在该正驻点附近左负右正，故为极小值。

答案：

$t = a$ ，函数值 $- 2 a^{3/2}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
极值点是超越方程的根，但题目要求该点函数值、参数范围，或极值点随参数的变化。	驻点方程不只找位置，还能消去极值表达式中的参数。
$a > 0$ ， $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x$ ，求正驻点与该点函数值。	用驻点关系消去参数。

三、怎么用

求驻点方程。
解出参数与切点的关系。
代入函数值化简。
检查分支、导数符号和可达性。

四、再做一道

例 2：对数驻点

$a > 0, x > 0$ ，求 $f_{a} (x) = ln x - a x$ 的最大值。

怎么看出来：

驻点关系为参数等于倒数。

解：

$f_{a}' = 1/ x - a$ ，唯一驻点 $t = 1/ a$ ，左正右负，是全局最大点。 $a t = 1$ ，故最大值 $ln t - 1 = - ln a - 1$ 。

答案：

$- ln a - 1$ 。

五、容易错在哪

只代入驻点关系不能证明全局最值，仍需符号或边界分析。

真题

按这个方法练 · 8 题

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水平截线与分段数根

先分单调分支，再看水平线与各分支值域有几个交点。

完整讲解 · 例题 · 可练 28 题

一、是什么

先认识这些量

不同根按不同横坐标计数；重根在同一点仍只算一个。水平线 $y = c$ 与函数图像的交点对应方程 $f (x) = c$ 的根。

为什么这样做

每个严格单调分支上至多一个交点。极值点被相邻分支共同包含时只能计一次。

先看一道例题

例 1：二次函数

方程 $x^{2} - 2 x = c$ 按实数 $c$ 分别有几个不同实根？

怎么看出来：

顶点值为负一。

解：

写成 $(x - 1)^{2} = c + 1$ ， $c < - 1$ 无根， $c = - 1$ 一根， $c > - 1$ 两根。

答案：

分别为 $0, 1, 2$ 个。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给定零点或交点个数，或取整、整数条件使方程在各段变为普通函数。	先分单调分支，再看水平线与各分支值域有几个交点。
方程 $x^{2} - 2 x = c$ 按实数 $c$ 分别有几个不同实根？	顶点值为负一。

三、怎么用

求导划分单调区间。
写各分支的值域与端点。
比较参数水平线，逐支数根。
在临界值处合并重复交点。

四、再做一道

例 2：三次分支

方程 $x^{3} - 3 x = 0$ 有几个不同实根？

怎么看出来：

导数在负一和一处分支，也可因式分解核验。

解：

$x (x^{2} - 3) = 0$ ，根为 $- 3, 0, 3$ ，分别落在三个单调分支。

答案：

$3$ 个。

五、容易错在哪

极值参数处两分支相交于同一根，不能重复计数。

真题

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切点参数与面积距离

以切点作参数，把截距、距离或面积变成一元表达式。

完整讲解 · 例题 · 可练 19 题

一、是什么

先认识这些量

切点横坐标为 $t$ 时，切线为 $y = f (t) + f' (t) (x - t)$ 。截距是切线与坐标轴交点的坐标，面积使用长度的绝对值。

为什么这样做

切线方程同时控制两个截距；不能把它们看成独立变量分别优化。

先看一道例题

例 1：抛物线截距

$y = x^{2}$ 在 $t = 2$ 处切线与两轴围成三角形，求面积。

怎么看出来：

先求截距，纵截距为负数。

解：

切线为 $y = 4 x - 4$ ，横截距 $1$ 、纵截距 $- 4$ ，面积 $∣1 \cdot (- 4) ∣/2 = 2$ 。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给定切线斜率、过点条件、平行线距离，或切线与坐标轴围成面积。	以切点作参数，把截距、距离或面积变成一元表达式。
$y = x^{2}$ 在 $t = 2$ 处切线与两轴围成三角形，求面积。	先求截距，纵截距为负数。

三、怎么用

限定切点参数范围。
写切线并求交点。
把几何量改写成参数函数。
核长度符号、退化和取等位置。

四、再做一道

例 2：反比例切线

$y = 1/ x$ 在任意 $t > 0$ 处切线与正坐标轴围成三角形，求面积。

怎么看出来：

截距乘积可能恒定。

解：

切线 $y = - x / t^{2} + 2/ t$ ，两截距为 $2 t, 2/ t$ ，均正，面积 $(2 t) (2/ t) /2 = 2$ 。

答案：

恒为 $2$ 。

五、容易错在哪

截距带符号，面积不带符号；切线平行坐标轴时可能根本没有所需三角形。

真题

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差函数与逐层导数估计

把不等式移成差函数，用导数和一个已知零值判断正负。

完整讲解 · 例题 · 可练 27 题

一、是什么

先认识这些量

差函数是两边相减所得函数。若它在某点为零，且两侧单调方向已知，就能判断哪一边更大。

为什么这样做

证明一阶导数符号困难时可再求导，但每上升一阶都要记录能恢复前一阶符号的初始值。

先看一道例题

例 1：对数上界

证明 $x > 0$ 时 $ln x \leq x - 1$ 。

怎么看出来：

差函数在一处最小。

解：

令 $H = x - 1 - ln x$ ，导数 $1 - 1/ x$ 在 $(0, 1)$ 负、 $(1, \infty)$ 正，最小值 $H (1) = 0$ 。

答案：

成立，等号仅 $x = 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
要证明三角、指数或对数不等式，直接求精确最值复杂，或待估和式的各项自变量迅速缩小。	把不等式移成差函数，用导数和一个已知零值判断正负。
证明 $x > 0$ 时 $ln x \leq x - 1$ 。	差函数在一处最小。

三、怎么用

写差函数与定义域。
找易算的零值或导数初值。
用导数证明符号。
还原不等式并核等号。

四、再做一道

例 2：指数下界

证明实数 $x$ 满足 $e^{x} \geq 1 + x$ 。

怎么看出来：

差函数的导数在零处变号。

解：

$H = e^{x} - 1 - x$ ， $H' = e^{x} - 1$ ，零左负右正，故最小值 $H (0) = 0$ 。

答案：

成立，等号仅 $x = 0$ 。

五、容易错在哪

高阶导数有符号并不能自动决定原函数符号，必须结合逐层初值。

真题

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两根方程联立与差商比较

两根满足同一个方程时，将两式相减，消去共同参数。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

先认识这些量

差商 $(f (v) - f (u)) / (v - u)$ 是两点的平均斜率，要求 $u \neq = v$ 。二次方程的两根和积可由系数直接读出。

为什么这样做

同一水平线对应函数值相等，二次项差可因式分解，给出根的对称中心；更复杂函数也可用差商比较两支。

先看一道例题

例 1：两根中点

$u \neq = v$ 且 $u^{2} - 4 u = v^{2} - 4 v$ ，求 $u + v$ 。

怎么看出来：

差式含已知非零因子。

解：

相减为 $(u - v) (u + v - 4) = 0$ 。因为 $u - v \neq = 0$ ，故 $u + v = 4$ 。如 $u = 1, v = 3$ 可实现。

答案：

$4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
两极值点、两零点或两点切线斜率相等，目标是根的和、积或同一参数下的统一比较。	两根满足同一个方程时，将两式相减，消去共同参数。
$u \neq = v$ 且 $u^{2} - 4 u = v^{2} - 4 v$ ，求 $u + v$ 。	差式含已知非零因子。

三、怎么用

分别写两根满足的等式。
相减并保留不同根条件。
因式分解或用中值定理比较差商。
核参数范围与根是否真正存在。

四、再做一道

例 2：两根间距

$a > 1$ ，方程 $x^{2} - 2 a x + 1 = 0$ 两根为 $u < v$ ，求 $v - u$ 。

怎么看出来：

先用根和积，不必各自求根。

解：

$u + v = 2 a, uv = 1$ ，故 $(v - u)^{2} = 4 a^{2} - 4$ 。间距为正，得 $2 a^{2} - 1$ 。

答案：

$2 a^{2} - 1$ 。

五、容易错在哪

两根合并时不能除以根差；它通常正是参数的临界情形。

真题

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存在性最优界与取等回验

存在解由函数实际值域决定，端点能否取到必须单独判断。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

先认识这些量

最大值必须在允许点上达到；上确界只要求是最小上界，可以没有取等点。开区间常使端点界只能逼近。

为什么这样做

“存在 $x$ 使 $f (x) \geq a$ ”要问实际有无函数值不小于 $a$ ，不能只比较边界极限。

先看一道例题

例 1：能取等

实数 $x$ 中存在一个使 $x (2 - x) \geq a$ ，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

配方给可达最高点。

解：

$x (2 - x) = 1 - (x - 1)^{2} \leq 1$ ，且 $x = 1$ 达到 $1$ ，所以恰为 $a \leq 1$ 。

答案：

$a \leq 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
存在一个自变量使不等式成立，要求参数最大或最小，或问开区间上是否存在最大值。	存在解由函数实际值域决定，端点能否取到必须单独判断。
实数 $x$ 中存在一个使 $x (2 - x) \geq a$ ，求 $a$ 的范围。	配方给可达最高点。

三、怎么用

把存在条件写成水平线与值域比较。
求界并注明开闭。
验证所有等号条件可同时实现。
若只可逼近，给出合法逼近序列。

四、再做一道

例 2：不能取等

在 $0 < x < 1$ 中存在 $x$ 使 $x \geq a$ ，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

一是上确界而不是最大值。

解：

必要为 $a < 1$ 。若 $0 \leq a < 1$ ，取 $x = (a + 1) /2$ ；若 $a < 0$ ，取 $x = 1/2$ ，均合法。

答案：

$a < 1$ 。

五、容易错在哪

边界极限等于目标不代表目标可达到，尤其注意严格定义域。

真题

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误区对照

容易误以为

$f (x) = x^{3}$ 满足 $f^{'} (0) = 0$ ，所以 $x = 0$ 是 $f$ 的极值点。

应当这样想

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ 在 $x = 0$ 两侧都为正， $f$ 在 $R$ 上严格递增， $x = 0$ 不是极值点。

为什么

对可导函数，导数为零只是极值点的必要条件；还要检查导数在该点两侧是否变号。

容易误以为

$f (x) = x^{3} - a x$ 在 $R$ 上单调递增，所以 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - a > 0$ 恒成立，得 $a < 0$ 。

应当这样想

$a = 0$ 时 $f (x) = x^{3}$ 仍严格递增，只是 $f^{'} (0) = 0$ 。正确条件是 $f^{'} (x) \geq 0$ 恒成立且等号不在一段区间上成立，即 $3 x^{2} \geq a$ 对所有 $x$ 成立，得 $a \leq 0$ 。

为什么

$f^{'} > 0$ 是递增的充分条件而非必要条件；孤立的零导数点不破坏单调性，所以参数范围要用 $f^{'} \geq 0$ 并回查端点值。

容易误以为

求 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在 $[- 2, 3]$ 上的最大值： $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)$ ，极大值 $f (- 1) = 2$ ，所以最大值是 $2$ 。

应当这样想

闭区间上的最大值要在驻点和端点中比较： $f (- 2) = - 2$ ， $f (- 1) = 2$ ， $f (1) = - 2$ ， $f (3) = 18$ 。最大值为 $f (3) = 18$ 。

为什么

极大值只是局部比较；全局最值必须把区间端点一起列入候选。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 160 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。