一试训练题

解答

令t=绝对值(u)∈[0,π/3]。对固定t，v∈[-π/3+t,π/3-t]，正弦在此区间严格递增，所以cos u-sin v≥cos t-sin(π/3-t)。记h(t)为右式，h′(t)=-sin t+cos(π/3-t)=(1/2)cos t+(√3/2-1)sin t。在[0,π/3)上，利用tan t<√3可得h′(t)>0；在右端也有h′=(1/2)(1/2)+(√3/2-1)(√3/2)=1-√3/2>0。因此h严格增，最小h0=1-√3/2。等号需t=0且v=π/3，即(u,v)=(0,π/3)。 所求为 $\boxed{\begin{array}{c}\min =1-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ (u,v)=(0,\frac{\pi }{3})\end{array}}$。