2012 年辽宁预赛 · 第 12 题

解答

设 $H$ 是 $D$ 到平面 $ABC$ 的垂足。$AD$ 在 $AB,AC$ 两单位方向上的投影均为 $2\sqrt{3}\cos 45^{\circ }=\sqrt{6}$，两方向夹角六十度，所以 $AH$ 沿角平分线，$AH=\sqrt{6}/\cos 30^{\circ }=2\sqrt{2}$。于是 $DH=\sqrt{12-8}=2$。半径一的小球与底平面相切又经过高度二的点 $D$，必以 $D$ 为最高点，其中心在 $D$ 正下方一处。大小两球内切且共同经过 $D$，唯一切点就是 $D$，两球心与它共线。设外球半径 $R$，其中心在 $D$ 下方 $R$，到底面有向高度 $2-R$。外球经过 $A$ 给 $R^2=A{H}^2+(2-R{)}^2=8+(2-R{)}^2$，所以 $\boxed{R=3}$。