2015 年安徽预赛 · 第 2 题

解答

令 $q=2/3$。分式变换的换元 $y=(x+1/2)/(x+1)$ 满足 $y_{n+1}=q{y}_n$，且 $y_1=3/4$。故 $y_n=(3/4)q^{n-1}$，还原得到候选

为核其合法性，注意 $0<q^{n-1}\le 1$，候选分母至少为 $1$，并且 $x_n>-1/2$，故原递推分母 $2x_n+4>0$，换元所用 $x_n+1>0$。该候选初值为 $1$，代入分式关系确满足递推，因而由递推唯一性就是所求通项。