2021 年广西预赛

解答

若 $x\ge 0$ 是根，令 $t=x^{1/4}$，则 $t+t^2=\cos x\le 1$，故 $0\le x\le ((\sqrt{5}-1)/2{)}^4<\pi$。在该区间内，$x^{1/4}+x^{1/2}$ 严格递增，而 $\cos x$ 严格递减。又在 $x=0$ 时左式为 $-1$，在 $x=((\sqrt{5}-1)/2{)}^4$ 时左式为 $1-\cos x>0$，故正半轴上恰有一个根。 该根不为零，由偶性另有其相反数，故