培玉 · 一试

专题地图 › 不等式的证明

2023 年福建预赛

F3填空题不等式的证明

若正实数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 满足

a_{1} \geq a_{2} a_{3}^{2}, a_{2} \geq a_{3} a_{4}^{2}, a_{3} \geq a_{4} a_{1}^{2}, a_{4} \geq a_{1} a_{2}^{2},

则

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} (a_{1} - a_{2} a_{3}^{2}) (a_{2} - a_{3} a_{4}^{2}) \cdot (a_{3} - a_{4} a_{1}^{2}) (a_{4} - a_{1} a_{2}^{2})

的最大值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

关键是用四个约束比值同时吸收前置乘积，将全式精确变成四个r(1-r)的乘积并构造等号。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：作差后证明非负

专题卡：证明不等式或求最值：两边作差，配成平方、齐次式、比值和对称式：归一化或换元，减少变量