2022 年山东预赛

解答

取定圆

其任一切线可写为

沿切线参数化点

代入椭圆得到关于 $t$ 的二次方程。记两根为 $t_1,t_2$，由韦达定理

由 $r^2(1/a^2+1/b^2)=1$，上式化为 $t_1{t}_2=-r^2$。两交点的位置向量为 $r\mathbf{n}+t_i\mathbf{u}$，其中 $\mathbf{n}\perp \mathbf{u}$ 且均为单位向量，故

又 $r<b$，而椭圆在任一单位法向上的支撑距离不小于 $b$，所以每条上述切线都严格穿过椭圆内部，从而有两个不同交点。命题得证。