培玉 · 一试

专题地图 › 复数的概念与运算

2025 年上海预赛

复数相等与三角恒等变形

F3填空题复数的概念与运算

已知 $α, β$ 是实数，

z_{1} = sin 2 α + i sin^{2} α, z_{2} = \frac{1}{2} (sin β + cos β + i sin 2 β),

其中 $i$ 是虚数单位。若 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $cos 2 α$ 的值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

须用sin beta加cos beta统一实虚部，借平方和降为二次式，并由其范围舍掉多余根。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：把复数条件化成实数方程

专题卡：设：实部虚部分开列方程，每一支都解到底