2014 年湖北预赛 · 第 7 题

解答

设 $O$ 为 $△ABC$ 外心，$r=OB$。由 $AB=AC=3,BC=4$， 等腰三角形底边上的高为 $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，故底面积为 $2\sqrt{5}$。 由外接圆半径公式，$r=AB\cdot AC\cdot BC/(4S_{ABC})=9/(2\sqrt{5})$。 过 $O$ 作平面 $ABC$ 的垂线，在 $D$ 同侧取 $S$，使 $OS=BD/2=2$。 连接 $S$ 与三角形顶点，因 $OS\perp$ 平面 $ABC$，有 $S{A}^2=S{B}^2=S{C}^2=r^2+4$。 又因 $BD\Vert OS$，将 $D$ 沿平面方向投影到直线 $OS$ 得点 $E$，则 $DE=BO=r$， $OE=BD=4$，故 $SE=2$，从而 $S{D}^2=r^2+4$。 所以 $S$ 为外接球球心，半径