2021 年山东预赛

解答

椭圆的焦点为 $F_1=(-2,0),F_2=(2,0)$。设 $P=(x,y)$，则

在直线 $F_{1}P$ 上写点为 $F_1+t(P-F_1)$。把它代入椭圆方程，关于 $t$ 的两个根中一个为 $1$， 根积为

其中使用了 (1)。故另一个交点 $M$ 对应 $t=-1/(9+4x)$。同理，点 $N$ 对应的参数为 $-1/(9-4x)$。于是

因此

其中再次用到 $5-x^2=5y^2$。令 $k_{MN}=-1/9$，得 $x=5y$。 代入 (1)，

因 $P$ 在第一象限，故