2024 年江苏预赛

解答

不妨设 $AB=AC=\sqrt{7},BC=\sqrt{3}$，并记 $PA=p,PB=q,PC=r$。由余弦定理，

前两个等式相减得 $(q-r)(q+r-p)=0$。由侧棱两两不等，$q\ne r$，故 $p=q+r$。于是

相减得 $qr=2$，再得 $q+r=3$，所以 $\{q,r\}=\{1,2\}$ 且 $p=3$。

三条棱向量 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ 的 Gram 行列式为

故体积