2010 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

定义域为 $x>0$，且

因此 $f$ 在 $(0,e)$ 上严格递增，在 $(e,+\infty )$ 上严格递减。给定 $m>0$，区间 $[m,2m]$ 上的最大值为

对第（3）问，令 $t=(n+1)/n\in (1,2]$。由前述单调性，$\ln t/t\le 1/e$，等号仅在 $t=e$，而 $t\le 2<e$，所以

即 $\ln (t^e)<t$，得到所求严格不等式。