培玉 · 一试
一试训练题
F3填空题函数的值域
若a<b且函数 在[a,b]上的值域恰为[a,b]，求a+b。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
按区间位于零左、零右或跨零分类。
解答
若b≤0，函数严格增，两个端点都需是不动点，但负的不动点只有-2，不可能a<b。若a≥0，函数递减，端点互换推出a+b=1及a²-a-1=0，a<b迫使a<1/2，必须取负根，矛盾。故a<0<b，最大值b=2。最小值a=2-max(a²,4)，给a≤-2；若a<-2则a=2-a²只给-2或1，矛盾。因此a=-2、b=2，和0。 所求为 。
复核
跨零时最大值在内部0处，不能继续把两端都当极值点。
方法总结
按区间位于零左、零右或跨零分类。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
按区间位于零左、零右或跨零分类。
已记下，谢谢！