易混 2023 年浙江预赛 · P006629
先改变分式的观察量，连续步骤之间就可能出现首尾相消。但前缀比值通常连乘，倒数增量通常累加；应按实际恒等式决定运算，而不是把所有相邻关系都当成同一种裂项。
前题把各分式变成一减相邻前缀比，固定连乘迫使最大值有下界，再构造等比前缀同时取等；后题取倒数后的增量只依赖下标，求出通项后才裂项求和。
培玉 · 一试
2019 年中科大少年班初试 · 第 6 题
F2填空题递推数列
若（），则。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
取倒数后增量只依赖下标，可先求通项再裂项求和。
解答
由 及递推归纳 。令 ，有 ，，故
于是 。
复核
，符合通式。原递推分母 ，取倒数全过程合法。
方法总结
分式递推先看倒数的增量；通项若含相邻下标乘积，再用裂项。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
掌握倒数线性化、归纳及裂项求和后是标准分式递推。
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