2024 年福建预赛

解答

记焦距参数为 $c$，离心率为 $e=c/a$。设 $|A{F}_2|=r$。由题设和椭圆定义，

故

又由向量关系知 $A,F_2,B$ 依次共线，且

设 $\theta =\angle A{F}_2{F}_1$。分别在 $△A{F}_1{F}_2$ 与 $△B{F}_1{F}_2$ 中应用余弦定理，注意 $\angle B{F}_2{F}_1=\pi -\theta$，得到

相加消去 $\cos \theta$，得 $18e^2=16$，所以

下面求点 $A$。写 $A=(x,y)$，其中 $y>0$。由两焦半径之差的平方，

故 $x=a/\sqrt{2}$。又 $b^2=a^2-c^2=a^2/9$，代入椭圆方程得

由于 $F_2$ 在线段 $AB$ 内，且 $A{F}_2:F_{2}B=5:1$，

题设给出 $cy=4$。代入 $c=2\sqrt{2}a/3$ 与 $y=a/(3\sqrt{2})$，得 $2a^2/9=4$，即 $a=3\sqrt{2}$。因此