2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

解答

设 $x=\lg a,y=\lg b,z=\lg c$，由a、b、c都大于1知x、y、z均正。换底得 $x+z/y=3,y+z/x=4$，两式乘以分母给 $xy+z=3y=4x$，所以 $y=4x/3,z=4x(1-x/3)$，并有 $0<x<3$。目标 $xz=(4/3)x^2(3-x)$。恒等式 $4-x^2(3-x)=(x-2{)}^2(x+1)\ge 0$ 给出 $xz\le 16/3$。x=2时，y=8/3、z=8/3均正，对应 $a=10^2,b=c=10^{8/3}$，满足原条件并取等。因此最大值 $\boxed{16/3}$。