同一骨架 2018 年湖北预赛 第 2 题 · P010147
先追踪实际变换形成的有限轨道,再用闭合小组确定未知值或周期。轨道中的每一步都要合法;已闭合的一组状态可以向目标回推,但不能把输入轨道的循环误说成整个未知函数有周期。
前题在自变量的短循环上联立函数值,再沿目标输入链回推;后题先把隐式式解成单值递推,实际初始状态回返后才确定远项。
已知 是定义在 上的函数,且对任意实数 ,均有
则 的值为。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
要求 ,代入 后还需要 。
先回想这道题的想法,再试试当前题。
从变换 的短周期 出发,可以依次确定 。
分别令 ,得到
两式相减可得 ,进而
再令 ,有
所以 。最后令 ,得
因此
依次代回 的四个方程,所得函数值均满足原等式;计算过程中没有假设函数的连续性或单调性。
函数方程只要求某些点的函数值时,应研究自变量变换形成的轨道。先找不动点或短周期,再沿轨道逐点回推,通常不必求出整个函数。
从目标sqrt2沿x²-1追到1、0、-1,0与-1构成两点封闭关系,解出后逐步返回目标即可。
同一骨架 2018 年湖北预赛 第 2 题 · P010147
先追踪实际变换形成的有限轨道,再用闭合小组确定未知值或周期。轨道中的每一步都要合法;已闭合的一组状态可以向目标回推,但不能把输入轨道的循环误说成整个未知函数有周期。
前题在自变量的短循环上联立函数值,再沿目标输入链回推;后题先把隐式式解成单值递推,实际初始状态回返后才确定远项。
已记下,谢谢!