2026 年四川预赛

解答

每一对相邻棱属于唯一的一个三角形面，每个面至多有一个直角，故相邻棱的垂直对至多$4$组。 对棱共有$3$组。若至多$2$组对棱垂直，则总数至多$4+2=6$。

若$3$组对棱全部垂直，又有一对相邻棱垂直，不妨记$PA\perp PB$， 令$\vec{a}=\overrightarrow{PA},\vec{b}=\overrightarrow{PB},\vec{c}=\overrightarrow{PC}$。 由$PA\perp BC$及$PB\perp AC$，有

结合$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，可知$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$两两垂直。 因此在$P$处恰有$3$组相邻棱垂直。在$A$处的三种内积分别为 $|\vec{a}{|}^2,|\vec{a}{|}^2,|\vec{a}{|}^2$，均为正；在$B,C$处同理。 所以此时相邻棱垂直恰有$3$组，加对棱$3$组，共$6$组。 若没有相邻棱垂直，总数仅$3$，上界仍成立。

取$P=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$， $P$处三棱两两垂直，三组对棱也分别垂直，达到$6$。 故$\boxed{n_{\max }=6}$。