2017 年安徽预赛 · 第 8 题

解答

$n$ 元集合有 $2^n-1$ 个非空子集，两次选取的有序非空子集对共有 $(2^n-1{)}^2$ 个，等可能。

若暂允许空集，每个元素有“不在两者中”“仅在 $A$ 中”“仅在 $B$ 中”“同时在两者中”四种状态，共 $4^n$ 个有序子集对。其中 $A\cap B=\varnothing$ 要求每个元素只能取前三种状态，共 $3^n$ 个。因此交集非空的有序对有 $4^n-3^n$ 个，而交集非空本身保证 $A,B$ 均非空，故这些有利对无须再删。所求概率为