专题地图 › 三角恒等变形
2025 年全国高中数学联赛一试(B 卷) · 第 2 题
F1填空题三角恒等变形
若 sin20∘sin25∘+sinα=cos20∘cos25∘,则 cos2α 的值为。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:0
解析
思路
移项后可直接使用两角和的余弦公式,再用倍角公式求值。
解答
由条件,
sinα=cos20∘cos25∘−sin20∘sin25∘=cos45∘=22.
因此
cos2α=1−2sin2α=0.
复核
计算只使用 sinα,不需要选定 α 所在象限;所有满足条件的角均给出相同结果。
方法总结
所求式能由已知三角函数值直接表示时,不必先解出角。
为什么评为 F1(会透露解法方向)
移项后的形式直接对应两角和公式,随后代入余弦倍角公式即可。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:三角恒等变形
专题卡:角之间差一个固定值:先写清角的关系,再用和差角公式、三角的平方、立方、四次方:降次或配方,只算需要的量