2017 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

由 $b=a\cos C+c\cos A$ 与题设比较，得 $a\cos C=a/2$，所以 $\boxed{C=\pi /3}$。半径为一，故 $a=2\sin A,b=2\sin B$，其中 $A+B=2\pi /3$。因此 $a^2+b^2=4[1-\cos (A+B)\cos (A-B)]=4+2\cos (A-B)$。差角取遍 $(-2\pi /3,2\pi /3)$，其余弦取遍 $(-1/2,1]$，故 $\boxed{a^2+b^2\in (3,6]}$。