同一骨架 2023 年甘肃预赛 · P006681
两题都把切点参数代入切线方程，使几何相切变为可比较的代数条件；切点三角形的面积随后由参数差或行列式整体计算。先完成相切约束，能避免独立求各边长。
前题由同一外点的两条切线得到参数二次方程，再在椭圆上取极值；后题比较两曲线的同一条公切线，尺度参数在面积中抵消。
培玉 · 一试
2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）
F4解答题解析几何综合
已知抛物线 （）与双曲线 相交于点 ，抛物线与双曲线的公切线分别与抛物线、双曲线相切于点 。求证：对于任意正实数 ， 的面积为与 无关的常数，并求该常数。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
隐函数切线可由梯度或求导得到；仿射变换(x,y)→(rx,y/r)的行列式为1，所以面积保持。行列式面积公式可直接展示该相消。
想法从哪来：既然面积声称与参数无关，先寻找横纵方向互逆缩放的可能性。用两曲线交点的横坐标r代替p，交点的纵坐标便是负倒数，参数也成为r的负三次幂。接着分别给两曲线的切点选一个参数，写出切线方程；同一条公切线不仅斜率相等，截距也必须相同，这两条系数关系会把两个切点都表示为“横向常数乘r、纵向常数除r”。此时无需继续化简距离，直接用二维行列式算面积，每一项的r都与倒数相消。公切线参数的实根唯一性，也顺便排除遗漏其他面积分支。
把交点横坐标作为尺度参数。分别参数化抛物线和双曲线的切点，通过两条切线方程完全相同确定两个切点，再用行列式计算面积，尺度因子会相消。
解答
设 。由 在抛物线上，
抛物线上点
处的切线为
双曲线上点 处的切线为
(2)、(3) 表示同一直线，故
因 ，有 。结合 (1) 得 ，从而
因此
所以
确与 无关。
复核
时三点均有定义；由 得到唯一实切点参数。把所得 代回两曲线及切线方程均成立，行列式中的 与 完全抵消。
方法总结
两条曲线的公切线问题，可分别写切点参数式和切线式，再比较系数。若参数 只控制横纵方向的互逆伸缩，面积常可通过行列式显出不变量。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需用公共切线匹配两条不同曲线的切点参数，再借交点消去p使三点呈横向r、纵向1/r的对应尺度，最后验证面积中的尺度恰抵消。
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