2013 年黑龙江预赛 · 第 11 题

解答

以 $A$ 为原点，分别以 $AB,AC,A{A}_1$ 为 $x,y,z$ 轴正向，单位长度为 $1$。 由直三棱柱和 $\angle BAC=\pi /2$，这是空间直角坐标系。设

由中点条件，$G=(1/2,0,1)$，$E=(0,1,1/2)$，从而

因此垂直条件等价于

与两个动点均不含端点的限制合并，恰得 $0<d<1/2$。于是

在此开区间内，最小值 $1/5$ 在 $d=2/5,f=1/5$ 取得。另一方面

且 $d\to 0^{+}$ 时 $D{F}^2\to 1$，但 $1$ 不能取得。 在 $0<d\le 2/5$ 上，上式连续且从 $1$ 严格递减到 $1/5$，故中间各值都能取得。 所以 $\boxed{DF\in [1/\sqrt{5},1)}$，应选 A。