2025 年中科大少年班入围考 · 第 10 题

解答

由条件可知一属于 $f$ 的像。任取 $f(y)=1$，再用 $f(f(y))=1$，得 $f(1)=1$。设 $B=f^{-1}(1)$，则 $1\in B$。又全部 $f(x)$ 必属于 $B$；$B$ 外的点不能映到一，否则它就在 $B$ 中。 固定 $|B|=k$，选择骨架有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k-1}\right)$ 种；$B$ 中每点必须映到一，外面 $5-k$ 点各有 $k-1$ 个像可选。因此总数为