2014 年山西预赛 · 第 11 题

解答

取 $A=(-a,0),B=(a,0),P=(u,v)$。由于 $P\ne A,B$，有 $v\ne 0$。设 $M=(x,y)$，垂直条件为 $(x+a)(u+a)+yv=0$、$(x-a)(u-a)+yv=0$。两式相减得到 $x=-u$；代回得 $yv=u^2-a^2=-a^2{v}^2/b^2$，所以 $y=-a^{2}v/b^2$。由 $u^2/a^2+v^2/b^2=1$，得到轨迹 $\boxed{x^2/a^2+b^2{y}^2/a^4=1,y\ne 0}$。反过来，轨迹上任一点对应 $P=(-x,-b^{2}y/a^2)$，它在椭圆上且不是轴端点，前述两垂线唯一相交于该点。