2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

解答

设 $P_1(1,\cos a,\sin a)$，$P_2(\sin b,1,\cos b)$，$P_3(\cos c,\sin c,1)$，按此循环（取 $P_4=P_1$，$a={\alpha }_1,b={\alpha }_2,c={\alpha }_3$）。则 $d_i^2=|P_i{P}_{i+1}{|}^2=4-2\sin {\alpha }_{i+1}-2\cos {\alpha }_i-2\sin {\alpha }_i\cos {\alpha }_{i+1}$，也可写成 $d_i^2=(1-\sin {\alpha }_{i+1}{)}^2+(1-\cos {\alpha }_i{)}^2+(\sin {\alpha }_i-\cos {\alpha }_{i+1}{)}^2$。

最小值：舍去最后一个平方，再用 $x^2+y^2\ge \frac{(x+y{)}^2}{2}$，得 $d_i\ge \frac{\sqrt{2}}{2}(2-\sin {\alpha }_{i+1}-\cos {\alpha }_i)$。求和（循环重排）得 $f=\sum d_i\ge 3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sum (\sin {\alpha }_i+\cos {\alpha }_i)=3\sqrt{2}-\sum \sin \left({\alpha }_i+\frac{\pi }{4}\right)\ge 3\sqrt{2}-3$。取 ${\alpha }_i=\frac{\pi }{4}$ 时三个距离都等于 $\sqrt{2}-1$，等号成立。

最大值：$\sum d_i^2=12-2\sum (\sin {\alpha }_i+\cos {\alpha }_i+\sin {\alpha }_i\cos {\alpha }_{i+1})=18-2\sum (1+\sin {\alpha }_i)(1+\cos {\alpha }_{i+1})\le 18$（每个乘积非负）。由柯西 $f^2\le 3\sum d_i^2\le 54$，所以 $f\le 3\sqrt{6}$。取 ${\alpha }_i=\pi$，三个点为 $(1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1)$，每个距离 $\sqrt{6}$，等号成立。所以最小值为 $3\sqrt{2}-3$，最大值为 $3\sqrt{6}$，即 $\boxed{\min =3\sqrt{2}-3,\max =3\sqrt{6}}$。