2023 年中科大少年班初试 · 第 5 题

解答

对唯一的正整数 $k$，$a_n$ 位于 $k^2$ 与 $(k+1{)}^2$ 之间。该段有 $2k$ 个数，而不超过 $k^2$ 的非平方正整数有 $k^2-k$ 个，故

又因

并且 $k-\frac{1}{2}>0$，开平方得 $k-\frac{1}{2}<\sqrt{n}<k+\frac{1}{2}$。于是