易混 2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 5 题 · P008978
两题的正切关系都需要先判角的符号与可定义性，再借角和恒等式压缩未知量。但单个比例和条件仍留有自由度，不能像三个正切的完整比例那样直接锁定共同尺度。
一题还需在剩余两角和固定时估计正弦乘积并核等号，另一题以公共正参数表示三个正切。
培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F3填空题三角函数综合
在 中，若
则 的最大值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先利用 合并 ，再在和固定时估计 。
思路
这样既能给出上界，也能从 检查等号可达。
解答
由题设各正切均有意义，并且
故
左边为正，所以 。又因 ，
因此
令 ，约去正数 后得到
即 。所以
取 且 时，题设等式成立，故最大值为
复核
等号要求 与 同时成立，此时三个角均在 内且正切有定义； 代回有 ，故上界确能达到。
方法总结
三角形中出现 ，可先提取 ， 再用 的和角公式；固定 后用积的最值完成降元。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先推出A为锐角，再用B、C定和的正弦积上界转成cosA的界，最后验证等腰取等。
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