2013 年辽宁预赛 · 第 16 题

解答

设 $P=(u,v)$，则 $Q=(u,0)$，向量条件给 $M=(u,v/\sqrt{2})$。因 $u^2+v^2=2$，完整轨迹为 $\boxed{C_2:x^2/2+y^2=1}$。写 $T=(2,t)$，圆的切点弦为 $2x+ty=2$。联立圆与椭圆分别求根差，得到 $AB=2\sqrt{2}\sqrt{(t^2+2)/(t^2+4)}$，$CD=2\sqrt{2}(t^2+4)/(t^2+8)$。故令 $z=t^2\ge 0$，所求比值的平方为 $f(z)=(z+4{)}^3/[(z+8{)}^2(z+2)]$。其对数导数为 $3/(z+4)-2/(z+8)-1/(z+2)=6z/[(z+4)(z+8)(z+2)]$，所以在非负半轴递增；$f(0)=1/2$，无穷远极限为一且不取。于是 $\boxed{|CD/AB|\in [1/\sqrt{2},1)}$。