2023 年贵州预赛

解答

椭圆上一点到 $A$ 的距离平方为

对每个 $y\in (-1,1)$，椭圆上有两个关于 $y$ 轴对称的点。因此，若某条水平线 $h(y)=R^2$ 在 $(-1,1)$ 内有两个不同根，相应圆就有四个公共点。

抛物线 $h$ 的顶点横坐标为

当 $1<a^2\le 2$ 时，$y_0\le -1$，故 $h$ 在 $[-1,1]$ 上单调，每个半径至多对应 一个内部纵坐标，公共点不超过三个。若 $a^2>2$，则 $y_0\in (-1,0)$，且 $h(y_0)>h(-1)=4$；取 $R^2\in (4,h(y_0))$，方程在 $(-1,1)$ 内有两个根，得到四个公共点，矛盾。 所以 $1<a^2\le 2$。离心率

随 $a>1$ 递增，故