垫脚石（相关题 → 此题） 2025 年新疆预赛 · P006392
先练习用平移消去三次式的二次项，再把这个操作同时用于两道方程；归一到同一个函数后，才能利用对称性与唯一性比较根。
前题由给定中心反求系数；后题需要自行找到两个平移中心，并补上严格单调性的论证。
培玉 · 一试
2023 年北京预赛
F3填空题函数的图像与性质
设实数 满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
不必分别求出两个三次方程的根。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
先消去二次项，再比较同一个奇函数的两个相反输出。
解答
设 、。展开原来的两个方程，分别得到
令 。对 ，有
所以 严格递增，且 。既然 ，必有 。故
复核
另将第二个方程的左边用 展开：它等于 ，由第一个方程即为 。这直接核对了配对关系及常数符号。
方法总结
同型三次式先平移消去二次项；若归结到同一个严格单调奇函数，就能配对两个根，不必使用三次方程求根公式。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须发现不同平移能将两三次方程化为同一奇增函数的相反函数值，由唯一性得根互为相反数。
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