2026 年甘肃预赛

小明参加了一场智力挑战赛，每轮比赛在难度系数较低的甲类问题以及难度系数较高的 乙类问题中随机答一道题。小明遇到每类问题的概率均为 $\frac{1}{2}$。小明遇到甲类问题时 回答正确的概率为 $\frac{1}{2}$，回答正确记 $1$ 分，否则记 $0$ 分；小明遇到乙类问题时 回答正确的概率为 $\frac{1}{4}$，回答正确记 $2$ 分，否则记 $0$ 分。小明回答每个问题 正确与否相互独立。

1. (1)

   当进行完 $2$ 轮比赛时，求小明的总得分 $X$ 的分布列与数学期望；

2. (2)

   设小明在每轮比赛中均回答正确且累计得分为 $n$ 分的概率为 $P(n)$， 求 $P(n)$ 的解析式。