2013 年辽宁预赛 · 第 9 题

解答

离心率给 $a^2=4b^2$，直线为 $y=x-b$。代入椭圆得 $x(5x-8b)=0$，两点可记为 $A=(8b/5,3b/5),B=(0,-b)$。因此 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-3b^2/5$，两向量叉积的绝对值为 $8b^2/5$，所以 $\cot \angle AOB=-3/8$。代题设得 $-3b^2/5=(32/5)(-3/8)$，即 $b^2=4$。故方程为 $\boxed{x^2/16+y^2/4=1}$。