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2026 年全国高中数学联赛一试(B 卷) · 第 4 题
F2填空题函数的值域
函数 f(x)=log2(1−x)−log2(1−x2) 的值域为 。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:f(x)∈(−1,+∞)
解析
提示
先同时检查两个对数的真数,再在原定义域内合并。
思路
化简后的函数虽更简单,不能据此扩大定义域或补入边界点。
解答
两个对数有意义要求
1−x>0,1−x2>0,
故原定义域为 −1<x<1。在该范围内,
f(x)=log2(1−x)(1+x)1−x=−log2(1+x).
此时 0<1+x<2,所以 log2(1+x)∈(−∞,1),取负得到
f(x)∈(−1,+∞).
复核
x→1− 时 f(x)→−1,但 x=1 不在原定义域中,故左端必须开;x→−1+ 时函数无上界。化简函数在原域连续且严格递减,所有大于 −1 的数均可取得。
方法总结
对数差先取原真数条件的交集,再合并约分。值域开闭端点要回到原定义域核查,不能按约分后的表达式自行补点。
为什么评为 F2(会透露解法方向)
先保留原对数定义域再约分,按1+x的开区间求值域,属于常规相连步骤。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:用导数或作差看单调性
专题卡:单变量函数求值域:先判增减,再比端点