2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题

解答

设 $z=x+y\mathrm{i}$，其中 $x,y\in \mathbb{R}$。第一个商有定义，故 $z\ne -\mathrm{i}$。 将其分母实数化，得虚部为

由该商为实数可知 $x=0$。此时商为 $(y-3)/(y+1)$，其为负数等价于

再计算

它为纯虚数，故 $y^2-3=0$。两个候选 $y=\pm \sqrt{3}$ 中，只有 $\sqrt{3}$ 属于 $(-1,3)$。 因此 $z=\boxed{\sqrt{3}\mathrm{i}}$。