同一骨架 2021 年重庆预赛 · P006942
奇性配合全轴严格递增，使两个函数值之和的符号可以转成两个输入之和的符号；嵌套求值或三角参数因此能在去掉外层函数后转成普通代数最值或不等式。
给出半轴公式的一题可先补全函数再分段，也能用这一结构解释各支；抽象函数一题则必须直接依赖奇性与单调性，随后还要核三角换元的真实像区间。
培玉 · 一试
2022 年山东预赛
F3填空题函数的图像与性质
已知 是 上单调递增的奇函数，满足对一切实数 恒有
则实数 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
利用奇函数把 写成 ，再由严格单调性把函数值比较化为自变量比较。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
因 为奇函数且单调递增，
故题设等价于
对一切 成立。令 ，则
其最小值为 ，所以 ，即
复核
可由某个实数 取得，因此端点条件不仅充分而且必要。
方法总结
奇函数与单调性同时出现时，可把两个函数值之和的符号转化为两个自变量之和的符号，再做普通最值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是借奇偶与严格递增把两函数值和的符号还原为自变量和，随后对2sin²theta+sin theta-1求标准区间最小值。
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