2020 年中科大少年班初试 · 第 7 题

解答

在 $[0,1]$ 上，$(x-1{)}^2$ 取遍 $[0,1]$，所以

若任意三个函数值都可作非退化三角形的三边，特别可取自变量 $0,1,1$，得到三边 $k^2+1,k^2,k^2$。严格三角形不等式要求

反之若 $k^2>1$，任意三个函数值均为正，最大者不超过 $k^2+1$，另外两者之和至少为 $2k^2>k^2+1$，故严格三角形不等式总成立。 因此