一试训练题

解答

$f$ 的定义域：$4-x^2\ge 0$ 且 $|x-3|\ne 3$，即 $x\in [-2,2]$ 且 $x\ne 0$。此时 $x-3<0$，$|x-3|-3=-x$，所以 $f(x)=-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}$，显然 $f(-x)=-f(x)$。$g$ 的定义域为 $\frac{2-x}{2+x}>0$，即 $(-2,2)$；$\ln \frac{2+x}{2-x}=-\ln \frac{2-x}{2+x}$，所以 $g(-x)=(-x)\cdot \left(-\ln \frac{2-x}{2+x}\right)=g(x)$，$g$ 为偶函数。乘积的定义域 $(-2,0)\cup (0,2)$ 关于原点对称，且 $f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)$，故为奇函数。又 $x=1$ 时 $f(1)g(1)=(-\sqrt{3})\cdot (-\ln 3)=\sqrt{3}\ln 3\ne 0$，奇函数在此不为零，故不是偶函数。答案：$\boxed{\text{奇函数（不是偶函数）}}$。