同一骨架 2025 年广东预赛 · P006235
两题的相邻状态都服从同一个线性变换，两个状态向量组成的行列式因此按固定因子变化。把这个乘法规律分别读成几何面积或相邻数列项的乘积差，可得到无需逐步展开的不变量。
几何变换的行列式保持正向面积；数列状态变换的行列式为负，乘积差会交替变号。面积还需取绝对值。
培玉 · 一试
2024 年山东预赛
F4解答题解析几何综合
设双曲线 ， 在 上。按照如下规则构造点列 ：过 作斜率为 的直线交 于另一点 ， 关于 轴的对称点为 ，记 。求证： （1）数列 是等比数列； （2） 的面积为常数。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
平面线性变换的行列式绝对值是面积缩放率；可从二维行列式的乘法公式证明。无需特征值理论，直接代指定线性组合即可。
想法从哪来：固定斜率割线的“另一交点”看起来是非线性操作，但代入二次曲线后已有一个已知根零，另一根对原坐标其实是一次式；再加轴对称仍是一个线性变换。先把这个变换写出来，第一问指定的线性组合就值得直接代入，能看见它每次乘以同一常数。第二问不必展开第n个点：同一个线性变换会把整组三个连续点送到下一组，三角形面积只按变换行列式的绝对值缩放。若它等于一，初始一组算准便足够。还需说明另一根始终不为零，避免某一步割线实际变成切线。
把“过点作斜率为 的割线再关于轴反射”写成线性变换；线性函数和面积分别由左特征向量与行列式控制。
解答
设 。将 代入双曲线方程，除 外另一根为 。再关于 轴反射，得到
于是
而 ，故（1）中数列公比为 。
又 ，且 同时把 映为下一组三点，所以相邻三点构成的三角形面积不变。直接算得
从而
故（2）中面积恒为 。
复核
变换由“另一交点”导出， 已排除；行列式为正一，面积的绝对值确实保持。
方法总结
圆锥曲线上的固定方向割线与轴对称组合，常产生线性迭代；特征量给数列，行列式给面积缩放率。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须从交点和反射导出统一递推，继而分别识别线性组合的等比性与三点同步变换的面积保持。
联系 · 2 条
同一骨架 2026 年广东预赛 · P005950
先寻找两个量组成封闭的一步线性递推，再找会被这一步只乘固定倍数的线性组合。二维迭代一旦这样拆开，复杂的几何作图或根式增长都可以由等比量追踪。
前题的二元量是曲线点的两个坐标，另用行列式追踪面积；后题先平移原项并引入正根式伴随量，还原时须保留正根分支。
已记下，谢谢！