2026 年内蒙古预赛

思路

“落在数列中”指存在正整数下标，不代表其位置与原来的次序一致。模运算用于排除有理数的剩余分母：先将低倍整性写成整数变量，再由原等式得到整除条件。

想法从哪来：平方仍在原等差数列中，意思是平方值对应某个整数下标。把这些下标先写出来，相邻平方相减又仍是公差的整数倍；约去非零公差后，就能取得首项、公差的低倍整性。这里不应一开始假设它们本来就是整数，也不应把下标顺序误当成平方大小顺序。 两次差只足够说明公差为半整数、首项为四分之一整数，距离结论还有一步。回到首项平方等于某项的原条件，清掉分母，用模八检查四分之一整数的剩余类，就能排除奇分子和半整数分支。首项一旦为整数，前面的差关系再迫使公差也是整数。零公差需在约分前单列。

设首项与公差为 $a,d$。三个平方仍在数列中，比较相邻两个平方所对应项的差， 可先得到 $2a+d$ 与 $2a+3d$ 都是整数。剩下的四分之一整性由 $a^2$ 本身仍是某项这一条件补足；模 $8$ 恰能排除非整数分支。