易混 2021 年四川预赛 · P007055
两题都把交错二项式系数编码成复幂，但所求操作不同。实虚部平方和等于模平方，整体相位可消去；取实部的三角权和则必须保留并计算相位，不能只算模长。
同样写成单位复数的幂，不代表后续都可直接取绝对值；先看目标保留了方向还是只保留了长度。
培玉 · 一试
2024 年上海预赛
F3填空题二项式定理
计算
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两个括号分别是 的实部和虚部，平方和就是复数模的平方。
解答
记两括号为 。由二项式定理
因此
复核
偶数次项给实部，奇数次项给虚部， 的正负号与题中交替号一致。
方法总结
偶、奇二项式系数的交错和，常可识别为 的实部与虚部。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须识别两列交替和分别为(1+i)高次幂的实部和虚部，才能以模平方合并计算。
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易混 2018 年中科大少年班初试 第 1 题 · P009959
遇到复数高次幂，先分清目标是否保留方向。实部与虚部的平方和可以合成模平方，因而消去辐角；直接求整个复数幂则必须同时保留模长、象限和辐角的周期。
前题先把交错的偶、奇二项式系数装进同一个复数，再取模；后题已给出复数基数，需要把周期算完后还原实部和虚部。
已记下，谢谢！