2011 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

（1）令 $h(x)=\ln x-1+1/x$，则 $h^{\prime }(x)=(x-1)/x^2$，故 $h$ 在 $x=1$ 取最小值 $0$。乘以 $a>0$，即得

（2）在 $1<x<e$ 上，条件等价于 $a>(x-1)/\ln x$。令 $q(x)=(x-1)/\ln x$，其导数分子为 $\ln x-1+1/x>0$，所以严格递增，右端上确界为 $e-1$，但不在开区间取到。因此全部且仅有

（3）现取 $a=1/2$。对 $k\ge 2$，由（1）的基础对数不等式用在 $\sqrt{k}$，有

又

对 $k=2,\dots ,n+1$ 求和，得到