2014 年黑龙江预赛 · 第 8 题

解答

用不同高度的平行截面构造所需直线。取正方体棱长为 $1$，以 $A$ 为原点、$AB,AD,A{A}_1$ 为坐标正向。 于是 $E=(1/2,0,0),F=(0,0,1/2),D_1=(0,1,1),C_1=(1,1,1)$。 对每个 $h\in (1/2,1)$，平面 ${\Pi }_h:z=h$ 平行于平面 $ABCD$，且分别与两条线段相交于

两个插值参数分别是 $h$ 与 $2h-1$，均在 $(0,1)$ 中，所以两点确在线段内。 若两点重合，第二坐标要求 $h=2h-1$，即 $h=1$，与所选范围矛盾。 故 $M_h{N}_h$ 是一条真正的直线，包含于 $z=h$ 中，因而与底面 $z=0$ 无公共点且平行。 不同的 $h$ 给出不同高度的直线，不会重复。区间 $(1/2,1)$ 有无穷多个数，故这样的直线有

选 D。只需这一无穷构造，不把端点或重合的退化对象当作额外直线。