2024 年中科大少年班入围考 · 第 10 题

解答

有限连乘记号的有效指标按正整数 $n$ 理解。对 $n\ge 2$，令 $\zeta =\cos (2\pi /n)+i\sin (2\pi /n)$，则 $1,\zeta ,\dots ,{\zeta }^{n-1}$ 是全部互异的 $n$ 次单位根。因此 $1+X+\cdots +X^{n-1}={\prod }_{k=1}^{n-1}(X-{\zeta }^k)$。令 $X=1$ 得 ${\prod }_{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)=n$。利用模的乘法性，原连乘为 $\boxed{n}$。