2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷） · 第 11 题

思路

所需工具是正项和的单调性与等比求和。由“某段以前项结尾的正项和”等于新项，可推出新项不小于前项；反过来单调性并不能保证连续和条件，构造必须逐类验证。

想法从哪来：先试着把每个奇数项都压小，好让偶数项变大；但新项是以前一项结尾的正项和，必不小于前一项，这种局部贪心很快失效。真正有用的是先提取单调性，再观察目标中的两个相邻偶数项能否借中间奇数项拼成题给的固定对和。 把 $a_{4j}$ 用不小于它的 $a_{4j+1}$ 替换，便能和 $a_{4j+2}$ 拼成已知的二次幂。留下首项后按四项块分组，可以一次取得所有组的上界。为使上界可达，就反过来要求每次替换取等：让跨组相邻的两项相同，再补齐固定对和。最后不能只检验单调性，须为每种下标明确给出原条件要求的连续和，尤其是块与块的连接。

条件（ii）说明新项是以前一项结尾的非空连续和，因各项为正，新项至少等于前一项。逐项取小的奇数项会受这个单调性限制，例如前三项都取 $1$ 后第四项为 $3$，第五项便不能仍取 $1$。小规模枚举提示应按相邻的两个偶数项配组；由单调性即可直接建立各组上界，无须分类所有可能数列。达到各组上界仍须给出满足原连续和条件的无限数列。