2010 年山西预赛 · 第 1 题

解答

设最大公约数为 $d$，除去它后得到十二个互异正整数，和至少为 $1+\cdots +12=78$。所以 $d\mid 2010$ 且 $d\le 2010/78<26$。因 $2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67$，不超过二十五的最大因数为十五。 取除去公因子后的十二数为一至十一及六十八，和为一百三十四，且最大公约数为一；全乘十五，和恰为二千零一十，最大公约数恰为十五。因此最大值为 $\boxed{15}$。